Nichts wird so kontrovers und leidenschaftlich ‚mathematisch‘ diskutiert wie Wahrscheinlichkeiten. Die praktische Anwendung ist so anschaulich. Und hier liegen die Fallstricke sehr oft in den Bedingungen, die wir unseren Gedankenexperimenten unterstellen. Und darauf wird oft gar nicht eingegangen.

In diesem YouTube-Video (englisch) von Kevin Lieber (YouTube Kanal Vsauce2), das mehr als eine Million mal angesehen wurde, ist mir das wieder aufgefallen.

Kevin Lieber diskutiert die Frage, ob es die Gewinnchace erhöht, wenn man sein Los tauscht, falls man weiß, dass das eine Los den doppelten Gewinn des anderen Loses enthält, aber nicht weiß welches der beiden Lose man selbst in Händen hält. Dann macht er genau diesen Fehler. Kevin verändert die Bedingung während er das Problem mit einem Beispiel illustriert (Zeitpunkt 6:29), obwohl das ganze Problem an genau dieser Bedingung liegt:

In seinem neuen Beispiel (angeblich die Variante des Problems von Professor Barry Nailbuff, einem amerikanischen Spieltheoretiker) gibt Kevin Lieber dem ersten Mitspieler einen Umschlag und wirft dann eine Münze: „…and then flip a coin“ (6:36). Abhängig von Kopf oder Zahl, steckt er das Doppelte oder die Hälfte in den zweiten Umschlag für den zweiten Mitspieler. Und dabei verändert er die Ausgangslage für Mitspieler 1. Denn dieser weiß nun, dass der Gewinn in seinem Umschlag feststand, bevor die Münze geworfen wurde — oder mathematisch ausgedrückt — bevor das Zufallsereignis eintrat. Auch wenn Kevin Lieber das nicht explizit ausspricht, muss man es so annehmen, wenn man seinen Ausführungen folgt.

Interessanterweise unterläuft Kevin Lieber dieser Fehler obwohl er in der Beschreibung unter seinem Video die unklaren Anfangsbedingungen („why the setup is wrong“) explizit als den Grund für die weit verbreitete Verwirrung um dieses Paradox angibt:

(…)

In The Two Envelopes Paradox — also called the Exchange Paradox — you know what the right answer is almost immediately. Until you don’t. And then you do. And then you’re not sure.

The problem isn’t so much the problem itself; it’s figuring out why the setup is wrong. Like several of Zeno’s Paradoxes, we’re lured into thinking about the scenario in a way that leads us down the wrong path… and by the time we realize it, we’re so deep in convincing (or troubling) math that we’ve lost sight of the real issue.

Just like with the Monty Hall Problem, even top academics have trouble elucidating clear, meaningful reasoning for why switching in the Two Envelopes Paradox is or isn’t valuable. That’s why Martin Gardner and others struggled with it for years, and why decades after the paradox (and its variants like the necktie and wallet-switching problems) debuted, it was still of academic interest in math journals and popular recreational mathematics publications.

But the Two Envelopes Paradox is an exercise in logic and probability that continues to be valuable, and probably more so than ever, with implications on how we approach math, science, and the world around us.

(…)

aus der Beschreibung zu Kevin Liebers Video Should You Switch? NO! auf seinem YouTube-Kanal Vsauce2. Hervorhebung durch mich.

Ich habe die betreffende Stelle im obigen Zitat hervorgehoben. Dort heißt es: „Das Problem ist nicht so sehr das Problem selbst. Es geht darum, herauszufinden warum das Setting nicht stimmt.“ Und das Setting in einem Gedankenexperiment — Kevin Lieber benutzt das englische Wort setup — sind die genauen Bedingungen unter denen das Experiment dann in Gedanken ablaufen soll.

Bei diesem Gedankenexperiment macht es den entscheidenden Unterschied, wenn der Mitspieler weiß, dass das Geld vor dem Münzwurf in seinen Umschlag gesteckt wurde. Es bedeutet nämlich, dass in seinem Umschlag eine unbekannte Gewinnsumme X steckt, die tatsächlich unabhängig davon ist, wie die Münze nachher gefallen ist und folglich auch unabhängig davon, was anschließend in den anderen Umschlag gesteckt wurde.

Deshalb darf der Mitspieler mit dem ersten Umschlag tatsächlich vom zweiten Umschlag annehmen, dass sich darin mit einer jeweiligen 50/50-Chance entweder 2 mal X, also 2X (im Falle von Kopf / engl. heads) oder die Hälfte von X, also ½X (im Falle von Zahl / engl. tails) befindet und dass dieses X unabhängig davon ist, ob es in diesem zweiten Umschlag 2 mal drin steckt, oder nur ein halbes mal.

In diesem Fall ist die Berechnung des Erwartungswertes mit (50% x 2X) + (50% x ½X) = 1,25X korrekt. Und tatsächlich ist der Mitspieler mit dem Umschlag, der vor dem Münzwurf verschlossen wurde, gut beraten, seinen Umschlag zu tauschen. Wenn er das Spiel oft genug aus dieser Position heraus spielt, wird er im Durchschnitt 125% von dem bekommen, was in den Umschlägen steckt, die er immer vor dem Münzwurf vom Spielleiter bekommt.

In den Umschlägen die jeweils nach dem Münzwurf bestückt werden, steckt im Durchschnitt mehr als in den Umschlägen die vor dem Münzwurf verschlossen wurden. Die Spielleitung verdoppelt ja den Einsatz X vom ersten Umschlag tatsächlich bei jedem Kopf und steckt 2X in den zweiten Umschlag. Bei Zahl wird der Einsatz X vom ersten Umschlag dagegen nicht um ein ganzes X auf 0X reduziert, sondern nur auf X halbiert. Weil das in 50% aller Fälle stattfindet, steckt im zweiten Umschlag, durchschittlich 50% von ½X mehr als in den Umschlägen, die vorher dem ersten Spieler gegeben werden (½ mal 50% sind 25%). Die Spielleitung gibt im Durchschnitt tatsächlich nach dem Münzwurf mehr in die zweiten Umschläge als sie vorher in die ersten Umschläge steckt.

Die Annahme, es gäbe eine unabhängige Gesamt-Gewinnsumme (8:48) die sich in drei gleiche Drittel aufteilt — ein Drittel in einem Umschlag und zwei Drittel im anderen — diese Annahme stimmt eben nicht, wenn der eine Umschlag vor und der andere Umschlag nach dem Münzwurf befüllt wird. Der Inhalt des zweiten Umschlags wird ja gerade vom Münzwurf abhängig gemacht.

Diese unabhängige Gesamt-Gewinnsumme gibt es dann, wenn die Umschläge unabhängig vom Zufallsereignis (welchen Umschlag man bekommt oder wählt) festgelegt wird. Das war in Kevin Liebers ursprünglichem Setting so (0:00).

Bei der Durchsicht der Kommentare unter Kevin Liebers YouTube-Video finde ich erst nach über hundert Einträgen einen Kommentar, der vielleicht den von mir oben beschriebenen Fehler im Video anspricht:

That was always my problem in Statistics course… Identifying the entirety of the sample space, particularly when applying some sort of problem space map to the situation.

Kommentar von tiger12506 unter Kevin Liebers Video Should You Switch? NO! auf seinem YouTube-Kanal Vsauce2.

Es ist unklar, ob tiger12506 den Fehler gesehen hat oder nur allgemein die Problematik wiedererkannt hat. Er löst ihn nicht auf. Dass selbst dieser vage Hinweis auf den hier beschriebenen Fehler erst jenseits der 100 wichtigsten Kommentare (von YouTube sortiert nach „Top-Kommentare“) auftaucht, zeigt mir, dass auch unter den Zuschauern die Crux mit dem Setup, mit den Rahmenbedingungen, nicht gesehen wird.